苦手な場合の数を克服するための6つのコツ｜問題の種類も詳しく解説

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対象を区別できないタイプの問題

区別できないボール8個を4個ずつA、Bの2組に分ける場合の数を求めましょう。このように人間と違って、ボールには対象をそれぞれ区別できない問題が出ることがあります。

答えは1通りです。

最初の1組目がポイントなのは、前項の問題と同じです。今、ボールは全く同じ形・同じ色なのですから、それぞれ違いがないのです。よって答えは1通りとなります。

対象を区別できないタイプでは、このように数学的に何が起きているかよく把握して、数えることが必要になる問題が多いです。樹形図や辞書的な配列を用いることがあります。

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苦手な場合の数を克服するための6つのコツ

続いては、場合の数を苦手から得意に変えていくための6つのコツを紹介します。ぜひ参考にしてください。

1：条件に合わないものに気を付けて数える

与えられた条件をよく具体化して、注意して数えましょう。条件外のものまで数えてしまうと場合の数を水増ししてしまいます。

また、数えるときは、頭の中だけでなく、実際に書き出してみることが大切です。全てを書き出せない場合は、書き出す過程でどのような法則が活用できるか考えましょう。

2：過不足のないように数えるように気を付ける

与えられた条件の具体化に失敗して、対象が漏れてしまうと、場合の数が減ってしまいます。

つい盲点になってしまうこともありますから、簡単な問題演習などを通じて、実際に経験を積むことも大切です。

3：「P」や「C」などの記号を使いこなす

この記号は積の法則がもとになっています。

例えば、5P2＝5・4、5C2＝5・4・(1/2)です。このような単なる積の演算に順列、組み合わせのような数学的な意味を持たせられるのがこれらの記号の特徴です。

ですから、この記号の実体は公式そのものよりも、順列と組み合わせの定義自体にあると言えます。

4：樹形図を使いこなす

樹形図は小学生以来、場合の数の頼れる相棒です。

場合の数が例えば、100通り以上もあれば、樹形図でこれらを全て書き出すのは現実的ではありませんね。しかし、実際に樹形図によって、視覚的に書き出す操作を通じて、規則・法則に気づければ計算によって効率よく、場合の数を求めるきっかけになります。

したがって、さまざまな問題で樹形図は有用です。

5：数え上げが基本で大事

数え上げることは、高校数学の中でかなり原始的で素朴な方法です。

しかし、素朴であるがために軽視されがちで、書き出すよりもいきなり計算で求めることを好む方々が一定数いらっしゃるようです。

たしかに計算で求める方が一般的に速いのですが、その分、ダブりやモレに気づけない場合もあり、条件が複雑で何が起きているかさえ把握することが難しい問題には対処しきれません。

また具体的に書き出すこと、視覚的に表すことは数学の全分野で大切です。

6：公式を暗記すれば良いわけではない

公式らしきものは、順列nPrや組み合わせnCrしかありません。

それらも、公式というよりは、順列や組み合わせの意味から即座に導けるようなものでしかなく、決して暗記すべきものではないです。

場合の数では、数学的な考え方を日本語に言い換えられるかが大事です。意味がわかっているならば、日本語で説明できます。ただ、意味もよく考えず、何となく計算しているだけだと、計算自体は簡単なので、足し算、掛け算の練習にしかなりません。

苦手な場合の数を克服しよう