苦手な場合の数を克服するための6つのコツ｜問題の種類も詳しく解説

「場合の数をどう対策したら良いかわからない」
「場合の数が苦手なんだけど克服したい」
場合の数を苦手にされている方は、たくさんいらっしゃるようです。

他の分野との関連性が低いうえに、数学的な発想力を要するような難しい問題が多く、受験生を悩ませるのがこの分野の特徴なのです。

公式とあえて言えるものは、順列と組み合わせぐらいしかなく、パターンにあてはめるような勉強法は全く効果的ではありません。

本記事は、場合の数の問題パターンから、苦手に対する実践的な対策まで、詳しく解説してあります。ご覧いただければ、場合の数の問題が根本的に何を求めているかを知ることができます。

特に、円順列・数珠順列の問題には、場合の数の大切な考え方がつまっていますので、ぜひチェックしてみてください。

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場合の数が苦手な人は多い？

場合の数は、和の法則、積の法則、順列、組み合わせが主な考え方です。

公式は、異なるn個からr個並べる順列nPrと、異なるn個からr個選び出す組み合わせnCrしかありません。そのため特に、実践的な入試問題ではその着想段階で、数学的な発想力が求められることが多いのが特徴です。

ところで数学的な発想力は一朝一夕では、身に付きません。特に解き方を暗記するようなやり方で勉強してきた人ほど、場合の数ではそのやり方が有効ではないため、暗中模索の状態になってしまいます。

そのため、大学受験生になっても場合の数への苦手意識を払拭できないお子さんは多いようです。

場合の数の問題の種類

場合の数の問題は、何を区別して、何を区別しないかという視点が大切です。

この観点に注意して、次の順列と組み合わせの解説をご覧ください。

順列の問題

考える対象は、それぞれ異なるものとして区別されていることが基本です。

そのうえで、これら互いに異なるものを1列に並べるパターン、つまり場合の数を求めるのが順列です。

5個の色違いのボールを一列に並べる場合の数は、5!＝120（通り）です。これは、左から並べるとして、1個目の場合の数が5通り、2個目はすでに1個選んだので4通り、3個目は・・・という考え方に基づきます。ちなみに5!＝5・4・3・2・1のことです。

円順列の問題

順列を円に並べる状況を円順列と呼びます。

円形なので、端が決まっていません。回転させると一致するのものは、互いに区別できないので1通りと考えます。

5個の異なるボールの円順列は、4!＝24（通り）です。

これは、1つ固定して、他4つを並べて重複を防いで数えたと考えられます。また、回転すると一致してしまうものは1通りの円順列に対して、5通りあります。つまり、5!÷5としたと見ることもできます。

数珠順列の問題

裏返せる円順列です。つまり1個を固定しても、左右対称だとそれぞれを区別できません。

5個の異なるボールの数珠順列は、4!÷2＝12（通り）です。

円順列である24通りのうち、それぞれ左右対称のものが1対1対応なので、数珠順列は、円順列の2分の1倍になります。

このように数学的な考え方を日本語と数式双方で説明できることが、数学的な発想力を培うのに欠かせません。

制約がある順列の問題

順列を並べるうえで、条件が付いている場合があります。

例えば、0、1、2、3の4つの数を並べて2桁の偶数をつくる場合の数は、
・一の位が0で、　1・3・2＝6（通り）
・一の位が2で、　1・2・2＝4（通り）
・和の法則より、6＋4＝10通り、が答えです。

上記の問題は、十の位に0が来ないこと、一の位が偶数0か2であること、2つの制約を守って場合の数を求めています。

このように、順列に制約が付くケースでは、場合分け、条件が厳しい場所から数える、重複を割って無くす（円順列で用いた考え方）などによって制約を満たすようにします。

組み合わせの問題

組み合わせは、順列と違って順序を区別しません。

これは、あくまで選びぬいたメンバーがいれば良いのであって、メンバーの順位は付けないことと言い換えることができます。

5個の異なるボールを4つ選んだ組み合わせは、5C4＝5C1＝5通りです。

また、このとき5つ選んだ組み合わせは、当然、5C5＝1通りです。全部で5個しかボールがないからです。

特に、順列5P5＝5!＝120通りと比べると、順列と組み合わせの違いが明らかでしょう。

何を区別して、何を区別しないかは、場合の数における大切な基本です。

対象を区別できるタイプの問題

異なる8人を4人ずつA、Bの2組に分ける場合の数を求めるとします。人間が対象のときは、それぞれを必ず区別します。

結論から述べると、8C4＝70通りが答えです。

2組に分けるので、最初のA組が決まれば、B組は残りのメンバーで自然に決まります。したがって、A組の4人の組み合わせを、8人から選び出して決めた場合の数と、この問題は言い換えられます。

これを求めると、8・7・6・5÷（4・3・2・1）です。記号で表すと8C4となります。

なぜなら、8・7・6・5通りでは、8人のうち4人を選び出して並べた順列です。

しかし、組み合わせですから順序は区別しません。4人の組み合わせ1通りに対して、順列4!＝24通りを重複して数えています。したがって、求めた順列8P4から4!を割ることになります。

このように対象を区別できる組み合わせでは、組み合わせと順列の対応関係から、組み合わせを求めるのが基本です。