因数定理の証明｜十分条件の証明・必要条件の証明と使う問題3つ

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教育（中学生）

2021.11.07

因数定理はどのようなときに使えばよいか例題を含めて説明します。因数定理の使い方として、因数分解する、因数を見つける、という目的で多く使われています。また、因数分解や因数を見つけるには、因数定理の代わりに組み立て除法を使う方法があります。

子どもからの質問を受けた際に即座に回答できるよう、内容を把握しましょう。

因数定理を使った因数分解を行います。例題として3次式、Ｐ（ｘ）＝３ｘ＾３＋４ｘ＾２－１７ｘ－６を因数分解してみます。

Ｐ（ｘ）＝３ｘ＾３＋４ｘ＾２－１７ｘ－６にｘ＝2を代入してみます。Ｐ（ｘ）＝２４＋１６－３４－６はＰ（ｘ）＝０となります。

因数定理によりＰ（ｘ）＝０のとき（ｘ－2）を因数として持つことがわかりました。

以上のことから、（ｘ＾３＋４ｘ＾２－１７ｘ－６）／（ｘ－２）＝３ｘ＾２＋１０ｘ＋３＝（ｘ－２）（３ｘ+１）（ｘ＋１）と因数分解できます。

１の例ではx＝2を見つけることができました。一般的なＰ（ａ）＝0となる値を見つけるには1から順に数字を代入する方法で見つけますが、実は簡単に因数を見つける方法があります。

ａｘ＾３＋ｂｘ＾２－ｃｘ－ｄの三次式の場合、求める因数は、（ｄ／ａ）つまり定数項ｄの約数を、最も高い次数の項であるaの約数で割った数字の中から因数の候補を見つけ出せます。

例として、n次方程式、ｘ＾３－３ｘ＾２－８ｘ－４、の因数はｄ／ａから－4／1の約数から、±1、2、4、が、因数の候補となります。

組み立て除法は、多項式を割る除算をするときに「割る式」がｘの１次式のとき、それぞれの式の係数で表を作り、商と余りを計算する除法のことです。

高次方程式を1次式で割る例としてｘ＾３－６ｘ＾２＋１１ｘ－６をｘ－2で割るとき、それぞれの係数は、1、－6、＋11、－2、と1次式のー2の正負を逆にした2です。これを組み立て除法の式に組み込みます。

最初の1はそのままおろして、1次式の2を掛けて計算し答えは２となります。－6に2を足して二つ目の係数は－4となります。－４に一次式の2を掛けて－8これを3番目の係数11と和算し、3を導き出します

この結果から係数は 1、－4、定数項3 で、余りが0とわかります。式で表すとｘ＾２－４ｘ＋３（余り0）となります。

因数の定理についての理解を深めよう！

因数定理は、高次方程式を因数分解するときにとても便利な定理で、大学の入試問題にも頻出されます。

保護者自身が因数定理を理解し、子どもと一緒に因数の定理についての理解を深めていきましょう。